Spearmanův koeficient pořadové korelace a jeho význam ve statistice
Tato práce byla ověřena naším učitelem: 14.01.2026 v 18:48
Typ úkolu: Analýza
Přidáno: 14.01.2026 v 18:02
Shrnutí:
Spearmanův koeficient měří sílu monotónní závislosti mezi pořadovými proměnnými a je vhodný, když data nejsou normálně rozložena. 📊
I. Úvod
Statistika je dnes nedílnou součástí takřka každého oboru – od přírodních věd přes medicínu, psychologii či ekonomii až po společenské vědy. Jednou z klíčových otázek, které si statistici i běžní uživatelé dat kladou, je, zda mezi dvěma sledovanými jevy existuje závislost a jak silná tato závislost je. Základním nástrojem pro zkoumání takových vztahů jsou korelační analýzy. Korelace obecně měří, do jaké míry jsou dvě proměnné spojeny – zda se hodnoty jedné z nich pravidelně zvyšují nebo snižují spolu s hodnotami druhé.Běžně užívaným korelačním koeficientem je Pearsonův korelační koeficient, který ale předpokládá, že data jsou měřena na intervalové či poměrové škále a mají normální rozdělení. Mnoho skutečných dat však této podmínce neodpovídá – například když hodnotíme spokojenost pacientů podle dotazníku, pořadí v soutěžích či výsledky hlasování. Právě v těchto situacích přichází ke slovu neparametrické metody, které nejsou na podobných předpokladech závislé. Jednou z nejznámějších neparametrických metod je Spearmanův koeficient pořadové korelace (zkráceně Spearmanův rho, značený jako \( r_s \)), jenž měří sílu a směr monotónní (tedy stoupající nebo klesající, ale ne nutně lineární) závislosti mezi dvěma proměnnými vyjádřenými v pořadí (rangy).
Spearmanův koeficient je hojně využíván i v českém prostředí například v sociologických, psychologických a pedagogických výzkumech – často v situacích, kdy výzkumník pracuje s pořadovými daty jako jsou výsledky testů, hodnocení žáků, nebo pořadí kandidátů ve volbách. Významnou aplikací je i v biologii, kde hodnotíme například vztah pořadí délky života a pořadí dle tělesné hmotnosti, když výchozí data nejsou normálně rozložena.
Pro obecný přehled si ještě uveďme, že existují i další korelační koeficienty, které lze využít v různých situacích: například Kendallův tau, další neparametrický koeficient pro pořadová data, či kontingenční koeficienty určené ke kategorizovaným (nominálním) proměnným za pomoci kontingenčních tabulek.
Cílem této eseje bude zabývat se podrobně Spearmanovým koeficientem: vysvětlit jeho podstatu, způsob výpočtu, interpretaci a využití v praxi, a také jej zasadit do širších souvislostí analýzy závislostí v datové analýze, včetně krátkého propojení s kontingenčními tabulkami.
---
II. Teoretické základy Spearmanova koeficientu pořadové korelace
1. Definice Spearmanova koeficientu
Spearmanův koeficient pořadové korelace, označovaný nejčastěji jako \( r_s \) nebo řeckým písmenem \( \rho \), slouží ke zjišťování závislosti mezi dvěma veličinami, jejichž hodnoty lze vyjádřit pořadím. To znamená, že každé hodnotě přiřadíme pořadí (takzvaný "rang") mezi ostatními hodnotami příslušné proměnné.Matematický zápis základního vzorce, pokud se nevyskytují shodné hodnoty (tedy „vázané rangy“):
\[ r_s = 1 - \frac{6 \sum d_i^2}{n(n^2 - 1)} \]
kde:
- \( n \) je počet pozorování (dvojic hodnot), - \( d_i \) je rozdíl mezi pořadími hodnot \( x_i \) a \( y_i \) pro každého respondenta, - \( \sum d_i^2 \) je suma druhých mocnin těchto rozdílů.
Pokud jsou v datech stejné hodnoty, přiřazujeme jim průměrné pořadí (např. dvě stejná čísla, která by zaujímala pořadí 3 a 4, obě dostanou pořadí \((3 + 4)/2 = 3,5\)).
2. Porovnání s Pearsonovým koeficientem korelace
Pearsonův korelační koeficient je určen pro situace, kdy předpokládáme lineární vztah mezi dvěma spojitými veličinami. Například při zjišťování vztahu mezi výškou a hmotností u dospělých osob lze často předpokládat lineární závislost a běžně použít právě Pearsonův koeficient.Spearmanovo rho však užíváme, když nemáme jistotu, že vztah je lineární. Pokud například hodnotíme pořadí úspěšnosti studentů v různých předmětech, není důležité, zda se rozdíly mezi pořadími rovnají rozdílům v bodovém skóre či jiným intervalovým hodnotám. Spearmanův koeficient je tedy odolnější vůči extrémním hodnotám (outlierům), pracuje pouze s pořadím, takže ho neovlivní neobvyklé rozdíly ve veličinách.
Kdy upřednostnit Spearmanův koeficient před Pearsonem? Například když data obsahují silné odlehlé hodnoty, nejsou normálně rozložena, případně když máme podezření, že vztah je monotónní, ale ne přímo lineární. Studenti se s touto volbou často setkávají nejen při práci s reálnými daty ve výzkumu, ale i ve školních úlohách zaměřených na neparametrické statistiky.
3. Předpoklady pro použití Spearmanova koeficientu
Hlavní podmínkou pro použití Spearmanova koeficientu je, aby hodnocené proměnné byly měřeny alespoň na pořadové škále (ordinalitě). Nemusí jít o přesné číselné hodnoty, stačí mít jasné pořadí.Další výhodou oproti Pearsonovi je, že nemusíme předpokládat normální rozložení dat, což je v mnoha případech práce s empirickými údaji zásadní.
Spearmanův koeficient dokáže zachytit i nelineární, avšak monotónní závislost – tedy takovou závislost, kdy hodnoty jedné proměnné mají tendenci stoupat či klesat s hodnotami druhé, i když vztah není přesně rovný.
4. Interpretace hodnot Spearmanova koeficientu
Koeficient \( r_s \) nabývá hodnot od -1 do +1.- +1 znamená dokonale rostoucí monotónní závislost (čím vyšší pořadí v první proměnné, tím vyšší v druhé). - -1 značí naprostou negativní monotónní závislost (čím vyšší v první, tím nižší ve druhé). - 0 indikuje, že mezi proměnnými není žádný monotónní vztah.
Sílu korelace lze v praxi chápat podle "hrubých hranic":
- 0,1–0,3: slabá korelace, - 0,3–0,5: střední korelace, - nad 0,5: silná korelace.
Například ve studii sledující pořadí studentů v matematice a češtině se při koeficientu \( r_s = 0,6 \) dá říci, že úspěšnost v jednom předmětu je silně spjata s úspěšností v druhém.
---
III. Praktická část: Výpočet Spearmanova koeficientu krok za krokem
1. Příprava dat
Nejprve je zapotřebí uspořádat data do tabulky – jeden sloupec pro první proměnnou (např. pořadí v matematice) a druhý pro druhou proměnnou (např. pořadí v češtině). Tabulka může vypadat například takto:| Student | Matematika | Čeština | |---------|------------|---------| | A | 3 | 1 | | B | 1 | 2 | | C | 4 | 5 | | D | 2 | 4 | | E | 5 | 3 |
Při práci s většími datovými soubory je vhodné si data předčíslovat a zkontrolovat, zda někde nechybí hodnoty, případně jakékoliv anomálie.
Pokud se vyskytují stejné hodnoty, použijeme již zmíněné průměrování pořadí.
2. Výpočet rangů
Hodnotám v každém sloupci přiřadíme jejich pořadí. Pokud vezmeme předchozí příklad, necháme první sloupec být pořadím (již je), v druhém přiřadíme pořadí hodnot (například hodnoty 1, 2, 3, 4, 5). U shodných hodnot určíme průměrné pořadí.Příklad na spojených hodnotách: Pokud máme dvě stejné hodnoty, které by zaujaly 3. a 4. místo, dostanou oba hodnoty pořadí 3,5.
3. Výpočet rozdílů rangů d_i
Pro každou dvojici vypočteme rozdíl pořadí:\[ d_i = R(Mat) - R(Češ) \]
4. Spočítání sumy druhých mocnin rozdílů \( \sum d_i^2 \)
Každý rozdíl umocníme a součty dáme dohromady. V našem příkladu:| Student | Mat | Češ | d_i | d_i^2 | |---------|-----|-----|-----|-------| | A | 3 | 1 | 2 | 4 | | B | 1 | 2 | -1 | 1 | | C | 4 | 5 | -1 | 1 | | D | 2 | 4 | -2 | 4 | | E | 5 | 3 | 2 | 4 |
Suma \( \sum d_i^2 = 4 + 1 + 1 + 4 + 4 = 14 \).
5. Dosazení do vzorce a získání výsledku
Dosadíme do vzorce:\[ r_s = 1 - \frac{6 \cdot 14}{5(5^2 - 1)} = 1 - \frac{84}{120} = 1 - 0,7 = 0,3 \]
Tedy střední pozitivní korelace.
6. Interpretace výsledku
Výsledek \( r_s = 0,3 \) znamená, že zde existuje pozitivní (rostoucí) závislost mezi pořadím v matematice a češtině, avšak není příliš silná.Změna vstupních dat (například, výrazné odchylky u jednoho studenta) může celkovou korelaci výrazně ovlivnit.
7. Alternativní výpočet – použití softwaru
V praxi se Spearmanův koeficient často počítá pomocí statistických programů – nejběžnější možnosti ve školském prostředí jsou Excel (“funkce KORELACE.POŘADÍ”), v jazyce R (funkce `cor(..., method = "spearman")`), nebo v Pythonu (`scipy.stats.spearmanr`). Automatyzace šetří čas a eliminuje chyby z ručních výpočtů, zejména u rozsáhlejších dat.---
IV. Spearmanův koeficient v porovnání s kontingenčními tabulkami
1. Kontingenční tabulky
Kontingenční tabulky (v češtině někdy též tabulky spoluvýskytu) jsou základním nástrojem pro sledování vztahů mezi dvěma nominálními (kategoriálními) proměnnými. Typickým příkladem je tabulka zachycující počet mužů a žen v různých fakultách vysoké školy.2. Propojení s Spearmanovým koeficientem
Zatímco Spearman je vhodný pro pořadová data (například pořadí, hodnocení, úroveň souhlasu), kontingenční tabulky slouží pro kategorie bez inherentního pořadí (například pohlaví, bydliště, obor studia). V kontingenčních tabulkách lze použít například chi-kvadrát test pro testování nezávislosti.Obě metody lze využívat pro rozbor vztahů mezi proměnnými podle toho, zda mají pořadí nebo jsou čistě kategoriální. Ve výuce na středních a vysokých školách, například při hodinách statistiky na gymnáziích, se obě tyto metody probírají právě jako základní aparát analýzy dat.
3. Příklady z praxe
Například pokud chceme sledovat vztah mezi hodnocením učitelů podle pořadí a jejich zařazení do školních kategorií (kateder), použili bychom pro pořadí Spearmanův koeficient a pro kategorizované údaje kontingenční tabulky.---
V. Shrnutí a závěr
1. Rekapitulace klíčových poznatků
Spearmanův koeficient pořadové korelace je zásadní nástroj pro analýzu vztahů mezi pořadovými (ordinalními) proměnnými, s širokým využitím zejména v humanitních, přírodovědných i technických oborech. Výpočet je relativně jednoduchý: spočítat pořadí v obou proměnných, zjistit rozdíly, jejich druhé mocniny, a dosadit do vzorce.2. Praktické doporučení
Spearman je vhodný zejména tehdy, když data nejsou rovnoměrně rozložena, obsahují extrémy, nebo když nás zajímá obecnější monotónní, nikoli nutně lineární vztah. Oproti jiným metodám má tu výhodu, že nevyžaduje konkrétní rozdělení dat.3. Možnosti dalšího studia
Studenti mohou pro hlubší pochopení neparametrických korelací studovat například Kendallův tau nebo využití různých testů významnosti korelačních koeficientů. Dále může být zajímavé sledovat kombinace podle typu proměnných s dalšími metodami (regresní analýza, ANOVA, kontingenční koeficient, atd.).4. Závěrečná myšlenka
Správná volba statistického postupu podle typu dat (kategoriální, pořadová, spojitá) je klíčem ke správnému závěru. Uživatel by měl vždy vycházet ze znalosti svých dat a požadavků analýzy – jen tak může získat výsledek, který reflektuje skutečné charakteristiky a závislosti zkoumaných jevů.---
VI. Dodatek
1. Praktický příklad (shrnutí v tabulce)
| Student | Biologie | Historie | Rang1 | Rang2 | d | d^2 | |---------|----------|----------|-------|-------|-----|-----| | F | 2 | 5 | 1 | 5 | -4 | 16 | | G | 5 | 2 | 5 | 2 | 3 | 9 | | H | 3 | 3 | 3 | 3 | 0 | 0 | | I | 4 | 4 | 4 | 4 | 0 | 0 | | J | 1 | 1 | 2 | 1 | 1 | 1 |Suma \( \sum d^2 = 16 + 9 + 0 + 0 + 1 = 26 \). Pro \( n = 5 \):
\[ r_s = 1 - \frac{6 \cdot 26}{5 (5^2 - 1)} = 1 - \frac{156}{120} = 1 - 1,3 = -0,3 \]
Znamená slabou zápornou souvislost (drop students v biologii jsou lepší v historii apod.).
2. Tabulka: Interpretace rozsahu koeficientu
| Hodnota \( r_s \) | Interpretace závislosti | |--------------------|----------------------------| | -1 | Dokonale negativní | | -0,7 až -0,5 | Silná negativní | | -0,5 až -0,3 | Střední negativní | | -0,3 až -0,1 | Slabá negativní | | -0,1 až +0,1 | Téměř žádná | | +0,1 až +0,3 | Slabá pozitivní | | +0,3 až +0,5 | Střední pozitivní | | +0,5 až +0,7 | Silná pozitivní | | +1 | Dokonale pozitivní |3. Doporučená literatura
- Komárek, A.: Statistika, základní pojmy pro pedagogy. Praha: UK PedF, 2016. - Meloun, M., Militký, J.: Statistická analýza experimentálních dat. Academia, 2004. - Cimler, P.: Statistika nejen pro pedagogy, Portál 2010.4. FAQ: Nejčastější otázky
Kdy použít Spearman místo Pearsonova koeficientu? Pokud nejsou data normálně rozložena, jsou v nich extrémy nebo neznáme přesný vztah.Jak se vypořádat se shodnými hodnotami? Přiřaďte průměrné pořadí (rangi).
Je výpočet Spearmanova koeficientu nutný ručně? Pro malé datové soubory ano, v praxi využijte SW.
---
Ohodnoťte:
Přihlaste se, abyste mohli práci ohodnotit.
Přihlásit se